3D 프로그래밍을 위한 변환

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선형 변환

 

 

행렬으로 표현

 

비례

- 비레변환은 물체의 크기를 바꾸는 효과를 나타낸다.

 

예시

- 최솟점 (-4,-4,0) 과 최댓점 (4,4,0) 으로 정의된 사각형을 z축은 그대로 두고 x축으로 0.5단위, y축으로 2단위 비례해 보자.

 

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회전

-벡터 v를 축n에 대해 회전하는 변환 회전각은 n의 진행 방향을 기준으로 반시계방향으로 측정된다.

 

회전행렬

 

예시

- 최솟점(-1,0,-1)과 최댓점 (1,0,1)로 정의한 사각형을 y축에 대해 시계방향으로 –30도(반시계 방향으로 30도) 회전

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아핀변환

동차변환-선형변환에 이동변환을 결합 한 것. 벡터는 이동에 불변

동차좌표- 점과 벡터를 동일한 방식으로 다룰수 있다. 동차좌표는 3차원 벡터에 w성분을 추가한 네값쌍의 형태

 

1.벡터를 나타내는 동차좌표는 (x,y,z,0)

2.점을 나타내는 동차좌표는 (x,y,z,1)

 

아핀변환은 선형변환에 이동벡터 b를 더한 것이다

 

이동

-인수(입력)을 그대로 돌려주는 선형변환, 즉 I(u)=u를 항등변환이라 한다.

이동변환은 선형변환 부분이 하나의 단위행렬인 아핀변환이라고 정의한다.

예시

- 최솟점(-8,2,0)과 최댓점 (-2,8,0)으로 정의되는 사각형 x축을 따라 12단위, y축을 따라 –10.0단위 이동, z축 위치는 그대로 둔다.

 

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비례와 회전을 위한 아핀변환 행렬들 4*4 행렬로 표현

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강체변환 

물체의 형태가 그대로 유지된체 이동, 회전을 한 것

t는 물체가 얼마나 회전했는지 , b는 얼마나 이동할 것인지 나타내는 변위벡터

*동차좌표(점이면 w=1 , 벡터면 이동변환이 적용되지 않도록 w=0)

 

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변환들의 합성

- S가 비례행렬, R이 회전행렬, T가 이동행렬이라 하고 i=0,1,2...,7 인 여덞 정점 vi들로 이루어진 입방체(직육면체)의 세 변환 적용

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좌표 변경 변환- 한 좌표계의 좌표를 다른 좌표계의 좌표로 변경하는 것

 

벡터

두 좌표계 A와 B 그리고 벡터p가 있다. 좌표계 A에서 상대적인 p의 좌표가 PA=(x,y) 라고 할 때, 좌표계 B에 상대적인 좌표 p의 좌표를 구하자.

 

점

점에 대한 좌표 변경은 벡터에 대한 것과 약간 다르다. 점의 경우 위치가 중요

 

행렬 표현

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결합법칙과 좌표 변경 행렬

세좌표계 F,G,H가 있다고 하자, 그리고 A가 F에서 G로의 좌표계 변경 행렬이고 B가 G에서 H로의 변경 행렬이라 하자. 한 벡터의 좌표계 F에 상대적인 좌표 pF를 좌표계 H에 상대적인 좌표 pH 로 변환을 하자.

역행렬과 좌표 변경 행렬

*본 내용들은 한빛미디어의 "DirectX 12를 이용한 3D 게임 프로그래밍 입문" 을 참고하여 작성됨